节点计数 {0,1,2,3,…} 意味着该图是一棵树。
The nodal count {0,1,2,3,...} implies the graph is a tree.
机构信息
Department of Mathematics, University of Bristol, , University Walk, Clifton, Bristol BS8 1TW, UK.
出版信息
Philos Trans A Math Phys Eng Sci. 2013 Dec 16;372(2007):20120504. doi: 10.1098/rsta.2012.0504. Print 2014 Jan 28.
Sturm's oscillation theorem states that the nth eigenfunction of a Sturm-Liouville operator on the interval has n-1 zeros (nodes) (Sturm 1836 J. Math. Pures Appl. 1, 106-186; 373-444). This result was generalized for all metric tree graphs (Pokorny et al. 1996 Mat. Zametki 60, 468-470 (doi:10.1007/BF02320380); Schapotschnikow 2006 Waves Random Complex Media 16, 167-178 (doi:10.1080/1745530600702535)) and an analogous theorem was proved for discrete tree graphs (Berkolaiko 2007 Commun. Math. Phys. 278, 803-819 (doi:10.1007/S00220-007-0391-3); Dhar & Ramaswamy 1985 Phys. Rev. Lett. 54, 1346-1349 (doi:10.1103/PhysRevLett.54.1346); Fiedler 1975 Czechoslovak Math. J. 25, 607-618). We prove the converse theorems for both discrete and metric graphs. Namely if for all n, the nth eigenfunction of the graph has n-1 zeros, then the graph is a tree. Our proofs use a recently obtained connection between the graph's nodal count and the magnetic stability of its eigenvalues (Berkolaiko 2013 Anal. PDE 6, 1213-1233 (doi:10.2140/apde.2013.6.1213); Berkolaiko & Weyand 2014 Phil. Trans. R. Soc. A 372, 20120522 (doi:10.1098/rsta.2012.0522); Colin de Verdière 2013 Anal. PDE 6, 1235-1242 (doi:10.2140/apde.2013.6.1235)). In the course of the proof, we show that it is not possible for all (or even almost all, in the metric case) the eigenvalues to exhibit a diamagnetic behaviour. In addition, we develop a notion of 'discretized' versions of a metric graph and prove that their nodal counts are related to those of the metric graph.
斯特姆的振动定理指出，在区间上的斯特姆-李奥维算子的第 n 个特征函数有 n-1 个零点（节点）（斯特姆 1836 J. Math. Pures Appl. 1, 106-186; 373-444）。这一结果被推广到所有度量树图（波科尔尼等人 1996 年 Mat. Zametki 60, 468-470（doi:10.1007/BF02320380）；沙波什尼科夫 2006 年 Waves Random Complex Media 16, 167-178（doi:10.1080/1745530600702535）），并为离散树图证明了类似的定理（别尔科拉伊科 2007 年 Commun. Math. Phys. 278, 803-819（doi:10.1007/S00220-007-0391-3）；达尔和拉马萨米 1985 年 Phys. Rev. Lett. 54, 1346-1349（doi:10.1103/PhysRevLett.54.1346）；菲德尔 1975 年 Czechoslovak Math. J. 25, 607-618）。我们证明了这两个离散和度量图的逆定理。即，如果对于所有的 n，图的第 n 个特征函数有 n-1 个零点，那么这个图就是一棵树。我们的证明使用了最近获得的关于图的节点计数和其特征值的磁稳定性之间的联系（别尔科拉伊科 2013 年 Anal. PDE 6, 1213-1233（doi:10.2140/apde.2013.6.1213）；别尔科拉伊科和魏扬德 2014 年 Phil. Trans. R. Soc. A 372, 20120522（doi:10.1098/rsta.2012.0522）；科林·德·维迪埃 2013 年 Anal. PDE 6, 1235-1242（doi:10.2140/apde.2013.6.1235））。在证明过程中，我们表明，不可能所有（甚至几乎所有，在度量情况下）的特征值都表现出抗磁性行为。此外，我们还发展了度量图的“离散化”版本的概念，并证明了它们的节点计数与度量图的节点计数有关。
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